Distribuciones de probabilidad

Distribución Binomial

En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes de Bernoulli con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.
Su función de probabilidad

Donde:

Distribución Normal.

En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales.
Hay varios modos de definir formalmente una distribución de probabilidad. La forma más visual es mediante su función de densidad. De forma equivalente, también pueden darse para su definición la función de distribución, los momentos, la función característica y la función generatriz de momentos, entre otros.
Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de parámetros μ y σ y se denota X~N(μ, σ) si su función de densidad está dada por:

donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviación típica (σ2 es la varianza).[5]
Se llama distribución normal "estándar" a aquélla en la que sus parámetros toman los valores μ = 0 y σ = 1. En este caso la función de densidad tiene la siguiente expresión:





Propiedades
Algunas propiedades de la distribución normal son:
1.- Es simétrica respecto de su media, μ;

1. La moda y la mediana son ambas iguales a la media, μ;
2. Los puntos de inflexión de la curva se dan para x = μ − σ y x = μ + σ.
3. Distribución de probabilidad en un entorno de la media:

• en el intervalo [μ - σ, μ + σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 68,26% de la distribución;
  
• en el intervalo [μ - 2σ, μ + 2σ] se encuentra, aproximadamente, el 95,44% de la distribución;


• por su parte, en el intervalo [μ -3σ, μ + 3σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 99,74% de la distribución. Estas propiedades son de gran utilidad para el establecimiento de intervalos de confianza. Por otra parte, el hecho de que prácticamente la totalidad de la distribución se encuentre a tres desviaciones típicas de la media justifica los límites de las tablas empleadas habitualmente en la normal estándar.
  

Estandarización de variables aleatorias normales

Como consecuencia de la Propiedad 1, es posible relacionar todas las variables aleatorias normales con la distribución normal estándar

Si X ~ N(μ,σ2), entonces

es una variable aleatoria normal estándar: Z ~ N(0,1).

La transformación de una distribución X ~ N(μ, σ) en una N(0, 1) se llama normalización, estandarización o tipificación de la variable X.




Distribución de Poisson

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta. Expresa la probabilidad de un número k de eventos ocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos ocurren con una frecuencia media conocida y son independientes del tiempo discurrido desde el último evento.




Propiedades

La función de densidad de la distribución de Poisson es
donde λ es un parámetro positivo que representa la frecuencia esperada del fenómeno modelado por la distribución.

Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson son iguales a λ.

Hacer ejercicios del block de ejercicios 4.