El equipo A tiene 4/7 de probabilidad de ganar cuando juega. Si A juega 5 partidos, hallar la probabilidad de que A gane, (I) dos partidos, (II) un partido por lo menos, (III) más de la mitad de los juegos.
Una familia tiene 6 hijos. Hallar la probabilidad de que sean, (I) 3 niños y 3 niñas, (II) menos niños que niñas.
La probabilidad de que Juan dé en el blanco es ¼. Si dispara 120 veces encuentra el número esperado de veces que él dé en el blanco y la desviación estándar.
La probabilidad de que un hombre pegue en el blanco es ¼. (I) si dispara 7 veces, ¿cuál es la probabilidad de que dos veces por lo menos pegue al blanco (II) ¿cuántas veces tiene que disparar para que la probabilidad de pegar por lo menos una vez sea mayor que 3/8?
Determinar el número esperado de niños de una familia con 8 hijos. ¿Cuál es la probabilidad de que el número esperado de niños suceda?
Encuentra el número esperado de respuestas correctas, obtenido por adivinanza en una prueba verdadero - falso de 50 preguntas. ¿Y si la prueba consta de 40 preguntas de selección múltiple de 4 opciones cada una?
Supóngase que las estaturas de 850 estudiantes están normalmente distribuidas con media 66 pulgadas y desviación estándar 5 pulgadas. Hallar el número de estudiantes con estatura, (I) entre 65 y 70 pulgadas, (II) mayor o igual a 6 pies (72 pulgadas).
Si la probabilidad de ocurrencia de un tornillo defectuosos es 0.1, encuentra (I) la media y (II) la desviación estándar para el número de tornillos defectuosos de un total de 400 tornillos
Una moneda corriente se lanza 12 veces. Determinar la probabilidad de que el número de caras que salgan esté entre 4 y 7 inclusive por medio de, (I) la distribución binomial, (II) la aproximación normal a la distribución binomial.
Un dado corriente se lanza 180 veces. Hallar la probabilidad de que el lado 6 salga, (I) entre 29 y 32 veces inclusive, (II) entre 31 y 35 veces.
Se lanza una moneda 100 veces. Encuentra la probabilidad de que ocurran (I) 60 caras exactamente, (II) desde 48 hasta 53 caras, (III) menos de 45 caras.
Según la oficina nacional de estadística vital del departamento de salud y servicios humanos de Estados Unidos, el promedio total de ahogamientos accidentales al año en ese país es de 3 por cada 100,000 habitantes. Encuentra la probabilidad de que en una ciudad de 200,000 habitantes haya (I) 0, (II) 6,, (III) entre 4 y 8, ahogados por accidente al año.
La media del diámetro interior de una muestra de 200 empaques es de 0.502 cm. y la desviación estándar es 0.005 cm. El propósito para el cual se hicieron estos empaques permite un máximo de tolerancia en el diámetro de 0.496 a 0.508 cm., o de lo contrario se considera que los empaques son defectuosos. Determina el porcentaje de empaques defectuosos producidos por la máquina, suponiendo una distribución normal.
Una caja contiene 3 bolas rojas y 2 blancas. Se saca y se reemplaza una bola tres veces. Hallar la probabilidad de sacar, (I) 1 bola roja, (II) 2 bolas rojas, (III) por lo menos una bola roja.
Suponga que los puntajes IQ de estudiantes forman una distribución normal con media de 100 y varianza de 400. Encuentra el porcentaje de estudiantes cuyos puntajes caen (I) entre 80 y 120, (II) por encima de 160, (III) 100 o más pero menos de 200
Un profesor de matemáticas en una escuela de enseñanza media ha reportado al director que sólo 4 de sus 20 alumnos no saben resolver el Teorema de Pitágoras. El director, un tanto escéptico, decide interrogar a los 20 alumnos, pero debe interrumpir el experimento cuando ha examinado a 4 estudiantes. Supón que ninguno de los 4 ha sido capaz de responder. ¿Cuál es la probabilidad del resultado obtenido si el reporte del profesor es correcto?
Un vendedor de seguros vende pólizas a 5 hombres, todos con la misma edad y condiciones de salud. Según la tabla de seguros, la probabilidad de que un hombre de esta edad en particular esté vivo dentro de 30 años es 2/3. Encuentra la probabilidad de que en 30 años estén vivos (I) los 5 hombres, (II) menos de 3, (III) al menos 2.
Una moneda corriente se lanza 10 veces. Hallar la probabilidad de obtener entre 4 y 7 caras inclusive usando, (I) la distribución binomial, (II) la aproximación normal a la distribución binomial.
Un entomólogo examina una planta de algodonero contando el número de huevecillos de cierto insecto por planta. De estudios anteriores se sabe que la probabilidad de encontrar un huevecillo es de .000’9 en un estudio de 10 000 plantas. Encuentra la probabilidad de que en la planta haya (I) menos de 2 huevecillos, (II) exactamente cuatro huevecillos, (III) más de 8 huevecillos
Una moneda corriente se lanza 400 veces. Hallar la probabilidad de que salga cara, (I) entre 100 y 125 veces inclusive, (II) más de 150 veces, (III) 120 veces o menos.
jueves, 18 de marzo de 2010
martes, 16 de marzo de 2010
Distribuciones de probabilidad
Distribución Binomial
En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes de Bernoulli con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.
Su función de probabilidad
Donde:
Distribución Normal.
En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales.
Hay varios modos de definir formalmente una distribución de probabilidad. La forma más visual es mediante su función de densidad. De forma equivalente, también pueden darse para su definición la función de distribución, los momentos, la función característica y la función generatriz de momentos, entre otros.
Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de parámetros μ y σ y se denota X~N(μ, σ) si su función de densidad está dada por:
donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviación típica (σ2 es la varianza).[5]
Se llama distribución normal "estándar" a aquélla en la que sus parámetros toman los valores μ = 0 y σ = 1. En este caso la función de densidad tiene la siguiente expresión:
Propiedades
Algunas propiedades de la distribución normal son:
1.- Es simétrica respecto de su media, μ;
- La moda y la mediana son ambas iguales a la media, μ;
- Los puntos de inflexión de la curva se dan para x = μ − σ y x = μ + σ.
- Distribución de probabilidad en un entorno de la media:
- en el intervalo [μ - σ, μ + σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 68,26% de la distribución;
- en el intervalo [μ - 2σ, μ + 2σ] se encuentra, aproximadamente, el 95,44% de la distribución;
- por su parte, en el intervalo [μ -3σ, μ + 3σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 99,74% de la distribución. Estas propiedades son de gran utilidad para el establecimiento de intervalos de confianza. Por otra parte, el hecho de que prácticamente la totalidad de la distribución se encuentre a tres desviaciones típicas de la media justifica los límites de las tablas empleadas habitualmente en la normal estándar.
Estandarización de variables aleatorias normales
Como consecuencia de la Propiedad 1, es posible relacionar todas las variables aleatorias normales con la distribución normal estándar
Si X ~ N(μ,σ2), entonces
es una variable aleatoria normal estándar: Z ~ N(0,1).
La transformación de una distribución X ~ N(μ, σ) en una N(0, 1) se llama normalización, estandarización o tipificación de la variable X.
Distribución de Poisson
En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta. Expresa la probabilidad de un número k de eventos ocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos ocurren con una frecuencia media conocida y son independientes del tiempo discurrido desde el último evento.
Propiedades
La función de densidad de la distribución de Poisson es
donde λ es un parámetro positivo que representa la frecuencia esperada del fenómeno modelado por la distribución.Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson son iguales a λ.
Hacer ejercicios del block de ejercicios 4.
Ejercicios 3
1. Un hombre tiene 5 pares de calcetines (todos de diferentes colores). ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar dos calcetines al azar escoja una par que haga juego?
2. Supón que un código consta de tres letras distintas seguidas de tres dígitos distintos. Calcula la probabilidad de que el código
a) Comience con vocal
b) Termine en número par
c) Contenga la letra B
d) Tenga sólo vocales y dígitos impares
3. Se saca al azar una carta de una baraja corriente de 52 cartas. Encuentra la probabilidad de que la carta sea:
a) Jota
b) Figura
c) Negra
d) Figura roja
Calcula la probabilidad de que al tirar una moneda corriente 4 veces se obtenga
a) Que las 4 sean iguales
b) Que tengan más caras que sellos
c) Exactamente 2 caras y no seguidas
d) Sólo sea 1 sello
1. Una moneda se lanza tres veces. Se define los eventos A = se obtiene tres caras o tres sellos. B = se obtiene dos caras por lo menos. Determina si los eventos son o no independientes.
2. En una bolsa de 10 canicas, 5 son rojas, 3 verdes y 2 azules. Se extrae una canica, se observa su color y se devuelve. El experimento se repite 3 veces. Se define el evento A= se obtiene siempre canica verde, B= se obtiene canica del mismo color. Determina la relación que existe entre los eventos A y B.
3. Se extraen cuatro cartas de una baraja corriente de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que
a) Todas sean número.
b) Todas sean del mismo palo.
c) No más de dos sean corazón.
d) Al menos una sea figura.
Las posibilidades de que A gane a B en el próximo partido de fútbol son de 11 a 7 ¿Cuál es la probabilidad de que B gane?
5. Se saca al azar 3 cartas de una baraja corriente de 52 cartas. Calcula la probabilidad de que:
e) Las tres sean rojas
f) Todas sean del mismo palo.
g) Al menos una sea corazón
h) No más de dos sean figuras.
Sean A y B dos eventos tales que P(A) = 0.70 y P (B) = 0.40 ¿Son A y B dos eventos mutuamente excluyentes? ¿por qué?
Se lanza un par de dados corrientes. Halla la probabilidad de que a) la suma de sus números sea primo, b) el producto sea mayor que cinco, c) aparezca el número 3, d) al menos uno de los números sea mayor de 4.
En cierta ciudad, el 40% de las personas en edad de votar simpatizan con el partido A, el 35% con el B y el 25% con el C. En cierta elección votaron: el 45% de los simpatizantes de A, el 40% de los de B y el 60% de los de C. Supongamos que una persona de la ciudad es elegida al azar, calcula
a) La probabilidad de que vote
b) Si la persona votó, cuál es la probabilidad de que lo haya hecho por el partido C.
Se sacan 3 cartas de una baraja corriente de 52 cartas. Si todas las cartas son del mismo color ¿cuál es la probabilidad de que sean corazones?
3 parejas de novios llegan al cine y se sientan en una fila de 6 butacas. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres parejas se sienten juntas?
Se ha seleccionado una carta de una baraja corriente de 52 cartas. Considera los eventos A = carta de corazón B = carta de figura. Encuentra:
a) P(A)
b) P(B)
c) P(A È B)
d) P(AÇ B)
5. De 15 candidatos para un empleo se sabe lo siguiente:
6 son casados
9 tienen título universitario
2 son casados y tienen título universitario
Se seleccionarán al azar 2 candidatos; calcula la probabilidad de que:
a) Los 2 sean casados y además tengan título
b) Los 2 tengan título o sean casados pero no ambas cosas
Una maestra proporciona a sus alumnos una lista de 20 problemas de estudio, de los cuales seleccionará 10 para ser contestados en un examen. Si un estudiante sabe cómo resolver 15 de los problemas, encuentra la probabilidad de que pueda contestar
a) Las 10 preguntas del examen
b) Exactamente 8 de las preguntas
c) Al menos 9 de las preguntas del examen
Una caja contiene 10 monedas, donde hay 5 monedas de dos caras, 3 monedas tienen dos sellos y dos monedas son corrientes. Se selecciona una moneda al azar y se lanza. a) Encuentra la probabilidad de que aparezca una cara b) Si aparece una cara, encuentra la probabilidad de que la moneda sea corriente.
Una caja contiene 5 canicas rojas y 4 blancas. Se sacan, una tras otra, dos canicas de la caja sin reemplazo, y se observa que la segunda canica es blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera también sea blanca?
Tres cheques y tres sobres se dirigen a tres personas diferentes. Si los cheques se colocan al azar dentro de los sobres.¿cuál es la probabilidad de que
a) Exactamente uno se ponga en el sobre correcto
b) Al menos uno se ponga en el sobre correcto
Un jugador de póquer tiene las cartas 2, 3, 4, 6 y 8. Él quiere descartarse del 8 y remplazarlo por otra carta, la cual espera que sea un 5. ¿Cuál es la probabilidad de que la obtenga suponiendo que los otros tres jugadores tengan juntos a) dos cincos b) ninguno.
2. Un estuche “A” contiene 4 plumas que no pintan, de las cuales 1 es azul y 3 son rojas. Otro estuche “B” contiene 7 plumas que sí pintan, de las cuales 5 son azules y 2 son rojas. Si se toma al azar un estuche y se saca aleatoriamente una pluma que es roja. ¿Cuál es la probabilidad de que sí pinte?
3. En un grupo de 72 estudiantes graduados de preparatoria, 28 están en lista de honor y, de estos, 18 pasarán a cierta universidad. De los otros 44 estudiantes, 12 pasarán a esa universidad. Si se selecciona al azar un estudiante de entre el grupo, ¿cuál es la probabilidad de que la persona escogida
a) Vaya a esa universidad.
b) Esté en la lista de honor pero no vaya a la universidad.
c) Este en el cuadro de honor si se sabe que va a ir a la universidad.
d) Vaya a ir a esa universidad, si se sabe que está en la lista de honor.
Para ocupar cierta vacante se presentan tres candidatos, A, B y C. Las posibilidades de A son de 7 a 5 y las de B de 1 a 3.
a) Halla la probabilidad de que A o B ocupen el puesto
b) ¿Cuáles son las posibilidades a favor de C?
5. De un grupo de 60 estudiantes que presentaron probabilidad, 40 de ellos aprobaron el examen, de los cuales 25 de éstos obtuvieron una calificación mayor de 80 puntos. Si 3 estudiantes son seleccionados al azar, halla la probabilidad de que:
a) los 3 hayan sacado más de 80 puntos si se sabe que los 3 aprobaron el examen
b) Los 3 hayan aprobado el examen si se sabe que sacaron más de 80 puntos
c) Al menos 1 haya sacado más de 80, si se sabe que los 3 aprobaron el examen
En una caja hay 10 pelotas de las cuales 3 son verdes, 3 blancas y 4 rojas, se extraen al azar 2 pelotas. Halla la probabilidad de que:
a) Las 2 pelotas sean blancas si se sabe que son del mismo color
b) Las 2 pelotas sean del mismo color si ya se sabe que son blancas
c) Ninguna de las 2 sea blanca, si ya se sabe que las 2 son de distinto color
d) Que las 2 sean del mismo color si ya se sabe que ninguna de las 2 es blanca
A determinada hora del día las cajas 1, 2, 3 y 4 de Comercial Mexicana atienden al 40%, 25%, 20% y 15% de los clientes respectivamente, siendo los niveles de eficiencia (% de servicios sin error) de las cuatro cajeras del 97% 99% 92% y 95%. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente determinado reclame un error en su cuenta? b) Si un cliente regresa días después de haber comprado a reclamar un error en su cuenta, pero no recuerda en qué caja lo atendieron, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido en la caja 3?
3 joyeros idénticos contienen 2 relojes c/u, en el primer joyero hay 2 relojes de oro, en el segundo joyero hay 2 relojes de plata y en el tercer joyero se guardan 1 de oro y 1 de plata. Si seleccionamos un joyero al azar y de éste extraemos un reloj que resulta ser de plata, ¿cuál es la probabilidad de que se haya elegido del tercer joyero?
2. Supón que un código consta de tres letras distintas seguidas de tres dígitos distintos. Calcula la probabilidad de que el código
a) Comience con vocal
b) Termine en número par
c) Contenga la letra B
d) Tenga sólo vocales y dígitos impares
3. Se saca al azar una carta de una baraja corriente de 52 cartas. Encuentra la probabilidad de que la carta sea:
a) Jota
b) Figura
c) Negra
d) Figura roja
Calcula la probabilidad de que al tirar una moneda corriente 4 veces se obtenga
a) Que las 4 sean iguales
b) Que tengan más caras que sellos
c) Exactamente 2 caras y no seguidas
d) Sólo sea 1 sello
1. Una moneda se lanza tres veces. Se define los eventos A = se obtiene tres caras o tres sellos. B = se obtiene dos caras por lo menos. Determina si los eventos son o no independientes.
2. En una bolsa de 10 canicas, 5 son rojas, 3 verdes y 2 azules. Se extrae una canica, se observa su color y se devuelve. El experimento se repite 3 veces. Se define el evento A= se obtiene siempre canica verde, B= se obtiene canica del mismo color. Determina la relación que existe entre los eventos A y B.
3. Se extraen cuatro cartas de una baraja corriente de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que
a) Todas sean número.
b) Todas sean del mismo palo.
c) No más de dos sean corazón.
d) Al menos una sea figura.
Las posibilidades de que A gane a B en el próximo partido de fútbol son de 11 a 7 ¿Cuál es la probabilidad de que B gane?
5. Se saca al azar 3 cartas de una baraja corriente de 52 cartas. Calcula la probabilidad de que:
e) Las tres sean rojas
f) Todas sean del mismo palo.
g) Al menos una sea corazón
h) No más de dos sean figuras.
Sean A y B dos eventos tales que P(A) = 0.70 y P (B) = 0.40 ¿Son A y B dos eventos mutuamente excluyentes? ¿por qué?
Se lanza un par de dados corrientes. Halla la probabilidad de que a) la suma de sus números sea primo, b) el producto sea mayor que cinco, c) aparezca el número 3, d) al menos uno de los números sea mayor de 4.
En cierta ciudad, el 40% de las personas en edad de votar simpatizan con el partido A, el 35% con el B y el 25% con el C. En cierta elección votaron: el 45% de los simpatizantes de A, el 40% de los de B y el 60% de los de C. Supongamos que una persona de la ciudad es elegida al azar, calcula
a) La probabilidad de que vote
b) Si la persona votó, cuál es la probabilidad de que lo haya hecho por el partido C.
Se sacan 3 cartas de una baraja corriente de 52 cartas. Si todas las cartas son del mismo color ¿cuál es la probabilidad de que sean corazones?
3 parejas de novios llegan al cine y se sientan en una fila de 6 butacas. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres parejas se sienten juntas?
Se ha seleccionado una carta de una baraja corriente de 52 cartas. Considera los eventos A = carta de corazón B = carta de figura. Encuentra:
a) P(A)
b) P(B)
c) P(A È B)
d) P(AÇ B)
5. De 15 candidatos para un empleo se sabe lo siguiente:
6 son casados
9 tienen título universitario
2 son casados y tienen título universitario
Se seleccionarán al azar 2 candidatos; calcula la probabilidad de que:
a) Los 2 sean casados y además tengan título
b) Los 2 tengan título o sean casados pero no ambas cosas
Una maestra proporciona a sus alumnos una lista de 20 problemas de estudio, de los cuales seleccionará 10 para ser contestados en un examen. Si un estudiante sabe cómo resolver 15 de los problemas, encuentra la probabilidad de que pueda contestar
a) Las 10 preguntas del examen
b) Exactamente 8 de las preguntas
c) Al menos 9 de las preguntas del examen
Una caja contiene 10 monedas, donde hay 5 monedas de dos caras, 3 monedas tienen dos sellos y dos monedas son corrientes. Se selecciona una moneda al azar y se lanza. a) Encuentra la probabilidad de que aparezca una cara b) Si aparece una cara, encuentra la probabilidad de que la moneda sea corriente.
Una caja contiene 5 canicas rojas y 4 blancas. Se sacan, una tras otra, dos canicas de la caja sin reemplazo, y se observa que la segunda canica es blanca. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera también sea blanca?
Tres cheques y tres sobres se dirigen a tres personas diferentes. Si los cheques se colocan al azar dentro de los sobres.¿cuál es la probabilidad de que
a) Exactamente uno se ponga en el sobre correcto
b) Al menos uno se ponga en el sobre correcto
Un jugador de póquer tiene las cartas 2, 3, 4, 6 y 8. Él quiere descartarse del 8 y remplazarlo por otra carta, la cual espera que sea un 5. ¿Cuál es la probabilidad de que la obtenga suponiendo que los otros tres jugadores tengan juntos a) dos cincos b) ninguno.
2. Un estuche “A” contiene 4 plumas que no pintan, de las cuales 1 es azul y 3 son rojas. Otro estuche “B” contiene 7 plumas que sí pintan, de las cuales 5 son azules y 2 son rojas. Si se toma al azar un estuche y se saca aleatoriamente una pluma que es roja. ¿Cuál es la probabilidad de que sí pinte?
3. En un grupo de 72 estudiantes graduados de preparatoria, 28 están en lista de honor y, de estos, 18 pasarán a cierta universidad. De los otros 44 estudiantes, 12 pasarán a esa universidad. Si se selecciona al azar un estudiante de entre el grupo, ¿cuál es la probabilidad de que la persona escogida
a) Vaya a esa universidad.
b) Esté en la lista de honor pero no vaya a la universidad.
c) Este en el cuadro de honor si se sabe que va a ir a la universidad.
d) Vaya a ir a esa universidad, si se sabe que está en la lista de honor.
Para ocupar cierta vacante se presentan tres candidatos, A, B y C. Las posibilidades de A son de 7 a 5 y las de B de 1 a 3.
a) Halla la probabilidad de que A o B ocupen el puesto
b) ¿Cuáles son las posibilidades a favor de C?
5. De un grupo de 60 estudiantes que presentaron probabilidad, 40 de ellos aprobaron el examen, de los cuales 25 de éstos obtuvieron una calificación mayor de 80 puntos. Si 3 estudiantes son seleccionados al azar, halla la probabilidad de que:
a) los 3 hayan sacado más de 80 puntos si se sabe que los 3 aprobaron el examen
b) Los 3 hayan aprobado el examen si se sabe que sacaron más de 80 puntos
c) Al menos 1 haya sacado más de 80, si se sabe que los 3 aprobaron el examen
En una caja hay 10 pelotas de las cuales 3 son verdes, 3 blancas y 4 rojas, se extraen al azar 2 pelotas. Halla la probabilidad de que:
a) Las 2 pelotas sean blancas si se sabe que son del mismo color
b) Las 2 pelotas sean del mismo color si ya se sabe que son blancas
c) Ninguna de las 2 sea blanca, si ya se sabe que las 2 son de distinto color
d) Que las 2 sean del mismo color si ya se sabe que ninguna de las 2 es blanca
A determinada hora del día las cajas 1, 2, 3 y 4 de Comercial Mexicana atienden al 40%, 25%, 20% y 15% de los clientes respectivamente, siendo los niveles de eficiencia (% de servicios sin error) de las cuatro cajeras del 97% 99% 92% y 95%. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente determinado reclame un error en su cuenta? b) Si un cliente regresa días después de haber comprado a reclamar un error en su cuenta, pero no recuerda en qué caja lo atendieron, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido en la caja 3?
3 joyeros idénticos contienen 2 relojes c/u, en el primer joyero hay 2 relojes de oro, en el segundo joyero hay 2 relojes de plata y en el tercer joyero se guardan 1 de oro y 1 de plata. Si seleccionamos un joyero al azar y de éste extraemos un reloj que resulta ser de plata, ¿cuál es la probabilidad de que se haya elegido del tercer joyero?
Probabilidad
Probabilidad Clásica.
Definición clásica de probabilidad: La probabilidad de un evento equiprobable se define como el número de casos favorables entre el número de casos posibles.
Teoremas de Probabilidad.
0 ≤ P(A) ≤ 1
P(A) + P(Ac) = 1
formula de la imagen verde*
Probabilidad Condicional
formula de la imagen azul*
Probabilidad de eventos independientes
si A y B son eventos independientes, entonces
formula de la imagen color besh*
Hacer ejercicios del block de ejercicios 3.
Definición clásica de probabilidad: La probabilidad de un evento equiprobable se define como el número de casos favorables entre el número de casos posibles.
Teoremas de Probabilidad.
0 ≤ P(A) ≤ 1
P(A) + P(Ac) = 1
formula de la imagen verde*
Probabilidad Condicional
formula de la imagen azul*
Probabilidad de eventos independientes
si A y B son eventos independientes, entonces
formula de la imagen color besh*
Hacer ejercicios del block de ejercicios 3.
técnicas de conteo
ESTADÍSTICA
INTRODUCCIÓN
La Estadística es la rama de las matemáticas que organiza, analiza e interpreta la información obtenida de la recolección de datos relacionados con una población. Estos datos pueden ser cuantitativos (numéricos) o cualitativos (características)
La Estadística Descriptiva estudia exclusivamente la recolección y descripción de datos numéricos, mientras que la Estadística Inferencial interpreta, deduce y prevee las tendencias del comportamiento de una población.
POBLACIÓN Y MUESTRA
En la práctica con frecuencia estamos interesados en obtener conclusiones válidas sobre un grupo grande de individuos u objetos. En lugar de examinar el grupo completo, llamado población, examinamos solamente una pequeña parte de la población, la cual llamamos muestra.
La población puede ser finita o infinita, siendo su número el tamaño de la población. De manera similar, el número de la muestra se denota por tamaño de la muestra o tamaño muestral, y generalmente es finito.
MUESTREO CON O SIN REMPLAZO
Tomar muestras en donde cada miembro de la población puede escogerse más de una vez se llama muestreo con remplazo. Mientras que tomar muestras en donde cada miembro no puede escogerse más de una vez se llama muestreo sin remplazo.
MUESTRAS ALEATORIAS
La confiabilidad de las conclusiones obtenidas concernientes a una población depende de si la muestra se tomó adecuadamente, para que represente a la población suficientemente bien. Uno de los problemas importantes de la inferencia estadística es precisamente cómo obtener una muestra.
Una manera de hacer esto es asegurar que cada miembro de la población tenga la misma probabilidad de estar en la muestra, lo cual se denomina muestra aleatoria, cuyos elementos se seleccionan de la población entera con base en el azar. Esta selección es semejante a la extracción aleatoria de números en un sorteo. Sin embargo, en el muestreo estadístico suele emplearse una tabla de números aleatorios o un programa de cómputo generador de números aleatorios para identificar los elementos numerados de la población que serán seleccionados para la muestra.
VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS
Una variable discreta puede tomar valores enteros exclusivamente, mientras que la variable continua puede tomar valores fraccionarios a lo largo de un intervalo especificado.
PARÁMETRO DE LA POBLACIÓN Y ESTADÍSTICO MUESTRAL
Se considera que una población es conocida cuando sabemos la distribución de probabilidad de una variable aleatoria relacionada con la población. Las medidas asociadas a esa variable se denominan con frecuencia parámetros poblacionales, ejemplos de ellos son la media aritmética, la varianza, etc.
Podemos tomar muestras aleatorias de la población y luego usarlas con el fin de obtener valores que ayuden a estimar y probar hipótesis sobre los parámetros de la población.
Cualquier medida que se obtenga a partir de una muestra tomada con el propósito de calcular un parámetro de la población se llama estadístico muestral o simplemente estadístico. En general a cada parámetro poblacional le corresponde un estadístico que se calcula a partir de la muestra y se denotan con letras griegas los primeros y con latinas los segundos.
TIPOS DE COLECCIONES DE DATOS
La primera decisión que es necesario tomar ante una colección de datos es el tipo de distribución de frecuencias a elegir. Esto depende fundamentalmente del número de datos que componen la colección así como de su frecuencia o diversidad, pudiendo clasificarse en tres tipos: aislados, repetidos o agrupados.
ESTADÍSTICOS
Hay diversas formas de proporcionar una información general de los datos. Una es mediante elementos visuales (gráficas), otra es utilizar ciertas descripciones numéricas de los datos: Para nuestro estudio estos estadísticos se clasifican en tres tipos principales: gráficas, medidas de centralización o posición y medidas de dispersión. Los estadísticos que vamos a estudiar son:
Gráficas
Histograma, polígono de frecuencias, ojiva, histograma porcentual, polígono de frecuencias porcentuales, ojiva porcentual y gráfica circular.
Medidas de centralización
Media aritmética, mediana, moda, media geométrica, media armónica, Cuartiles, deciles y percentiles.
Medidas de dispersión
Rango, desviación media, desviación estándar y varianza.
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS
Una distribución de frecuencias es una tabla en la cual se agrupan en clases valores posibles de una variable y donde se registra el número de valores observados correspondientes a cada clase. Se reconocen principalmente dos tipos de distribuciones de frecuencias: la de datos repetidos u ordenados y la de datos agrupados en clases.
INTERVALOS DE CLASE
En cada una de las clases de una distribución de frecuencias, los límites nominales de clase inferior y superior indican los valores incluidos en cada clase. Los límites reales de clase son los puntos específicos que sirven para separar clases adyacentes en una escala de medición de variables continuas. Los límites reales de clase pueden determinarse identificando los puntos intermedios entre los límites nominales superior e inferior, respectivamente, de clases adyacentes. El intervalo de clase (con límites reales), determina el rango de valores incluido dentro de una clase.
Medidas de centralización, posición o tendencia central.
Media aritmética. Dada una colección de datos, la media aritmética se define como el promedio de los datos, es decir la suma de los datos entre el número de datos.
Mediana. Se define como el dato central o el promedio de datos centrales en una colección ordenada en orden de magnitud.
Moda. Se define como el dato que más se repite. En una colección puede no haber moda, tener sólo una o bien varias modas.
TÉCNICAS DE CONTEO
INTRODUCCIÓN
En este capítulo se analizarán algunas técnicas para determinar el número de resultados posibles de un experimento o evento particular, o el número de elementos de un conjunto determinado, sin enumerarlo directamente. Un conteo como éste se denomina algunas veces análisis co0mbinatorio.
PRINCIPIOS BÁSICOS DE CONTEO
Hay dos principios básicos de conteo que se utilizarán a lo largo de este capítulo, uno comprende la adición y otro la multiplicación.
Principio de adición. Supongamos que un evento E puede ocurrir en m formas y un segundo evento F puede ocurrir en n formas, y supongamos que ambos eventos no pueden ocurrir en forma simultánea (disjuntos o mutuamente excluyentes). Entonces E o F pueden ocurrir en m + n formas.
Principio de multiplicación. Supongamos que un evento E puede ocurrir en m formas e independientemente de este evento, un evento F puede ocurrir en n formas. Entonces las combinaciones de los eventos E y F pueden ocurrir en mn formas.
Claramente estos principios pueden ampliarse a tres o más eventos.
PERMUTACIONES SIMPLES
Cualquier ordenamiento de un conjunto de n objetos en un orden dado se denomina una permutación de los objetos (tomados todos a la vez) (nPn). Cualquier ordenamiento de r ≤ n de estos objetos en un orden determinado se denomina una permutación de n objetos tomados de r a la vez (nPr).
Teorema: nPr = n!
(n – r)!
Siendo x! (se lee x factorial) un elemento que se define como el producto de todos los enteros positivos menores o iguales a x.
Nota: En particular se define 0! = 1! = 1
Corolario: nPn = n!
PERMUTACIONES CON REPETICIÓN.
Frecuentemente se desea conocer el número de permutaciones de un multiconjunto, es decir, un conjunto de objetos algunos de los cuales no son diferenciables.
Teorema: nPp,q, r… = n!
p! q! r! …
PERMUTACIONES CIRCULARES
Cuando los elementos que se ordenan se colocan en círculo, se dice que las permutaciones son circulares.
Teorema: nPcn = nPn = (n – 1)!
n
nPcr = nPr
r
COMBINACIONES
Supongamos que tenemos una colección de n objetos. Una combinación de estos n objetos, tomados r a la vez, es cualquier colección de r objetos en donde el orden no cuenta.
Teorema: nCr = n!
r! (n – r)!
DIAGRAMA DEL ÁRBOL
Un diagrama del árbol es un mecanismo utilizado para enumerar todos los resultados posibles de una secuencia de experimentos o eventos donde cada evento puede ocurrir en un número finito de formas.
DIAGRAMAS DE VENN
Las técnicas ya conocidas en la representación de conjuntos son también excelentes auxiliares para determinar el número de formas en que cierto evento puede ocurrir. Las operaciones con conjuntos como la unión, intersección, complemento, complemento relativo, etc., serán de gran importancia en este capítulo y en la determinación de probabilidades de eventos compuestos.
Hacer ejercicios del block de ejercicios 2.
INTRODUCCIÓN
La Estadística es la rama de las matemáticas que organiza, analiza e interpreta la información obtenida de la recolección de datos relacionados con una población. Estos datos pueden ser cuantitativos (numéricos) o cualitativos (características)
La Estadística Descriptiva estudia exclusivamente la recolección y descripción de datos numéricos, mientras que la Estadística Inferencial interpreta, deduce y prevee las tendencias del comportamiento de una población.
POBLACIÓN Y MUESTRA
En la práctica con frecuencia estamos interesados en obtener conclusiones válidas sobre un grupo grande de individuos u objetos. En lugar de examinar el grupo completo, llamado población, examinamos solamente una pequeña parte de la población, la cual llamamos muestra.
La población puede ser finita o infinita, siendo su número el tamaño de la población. De manera similar, el número de la muestra se denota por tamaño de la muestra o tamaño muestral, y generalmente es finito.
MUESTREO CON O SIN REMPLAZO
Tomar muestras en donde cada miembro de la población puede escogerse más de una vez se llama muestreo con remplazo. Mientras que tomar muestras en donde cada miembro no puede escogerse más de una vez se llama muestreo sin remplazo.
MUESTRAS ALEATORIAS
La confiabilidad de las conclusiones obtenidas concernientes a una población depende de si la muestra se tomó adecuadamente, para que represente a la población suficientemente bien. Uno de los problemas importantes de la inferencia estadística es precisamente cómo obtener una muestra.
Una manera de hacer esto es asegurar que cada miembro de la población tenga la misma probabilidad de estar en la muestra, lo cual se denomina muestra aleatoria, cuyos elementos se seleccionan de la población entera con base en el azar. Esta selección es semejante a la extracción aleatoria de números en un sorteo. Sin embargo, en el muestreo estadístico suele emplearse una tabla de números aleatorios o un programa de cómputo generador de números aleatorios para identificar los elementos numerados de la población que serán seleccionados para la muestra.
VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS
Una variable discreta puede tomar valores enteros exclusivamente, mientras que la variable continua puede tomar valores fraccionarios a lo largo de un intervalo especificado.
PARÁMETRO DE LA POBLACIÓN Y ESTADÍSTICO MUESTRAL
Se considera que una población es conocida cuando sabemos la distribución de probabilidad de una variable aleatoria relacionada con la población. Las medidas asociadas a esa variable se denominan con frecuencia parámetros poblacionales, ejemplos de ellos son la media aritmética, la varianza, etc.
Podemos tomar muestras aleatorias de la población y luego usarlas con el fin de obtener valores que ayuden a estimar y probar hipótesis sobre los parámetros de la población.
Cualquier medida que se obtenga a partir de una muestra tomada con el propósito de calcular un parámetro de la población se llama estadístico muestral o simplemente estadístico. En general a cada parámetro poblacional le corresponde un estadístico que se calcula a partir de la muestra y se denotan con letras griegas los primeros y con latinas los segundos.
TIPOS DE COLECCIONES DE DATOS
La primera decisión que es necesario tomar ante una colección de datos es el tipo de distribución de frecuencias a elegir. Esto depende fundamentalmente del número de datos que componen la colección así como de su frecuencia o diversidad, pudiendo clasificarse en tres tipos: aislados, repetidos o agrupados.
ESTADÍSTICOS
Hay diversas formas de proporcionar una información general de los datos. Una es mediante elementos visuales (gráficas), otra es utilizar ciertas descripciones numéricas de los datos: Para nuestro estudio estos estadísticos se clasifican en tres tipos principales: gráficas, medidas de centralización o posición y medidas de dispersión. Los estadísticos que vamos a estudiar son:
Gráficas
Histograma, polígono de frecuencias, ojiva, histograma porcentual, polígono de frecuencias porcentuales, ojiva porcentual y gráfica circular.
Medidas de centralización
Media aritmética, mediana, moda, media geométrica, media armónica, Cuartiles, deciles y percentiles.
Medidas de dispersión
Rango, desviación media, desviación estándar y varianza.
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS
Una distribución de frecuencias es una tabla en la cual se agrupan en clases valores posibles de una variable y donde se registra el número de valores observados correspondientes a cada clase. Se reconocen principalmente dos tipos de distribuciones de frecuencias: la de datos repetidos u ordenados y la de datos agrupados en clases.
INTERVALOS DE CLASE
En cada una de las clases de una distribución de frecuencias, los límites nominales de clase inferior y superior indican los valores incluidos en cada clase. Los límites reales de clase son los puntos específicos que sirven para separar clases adyacentes en una escala de medición de variables continuas. Los límites reales de clase pueden determinarse identificando los puntos intermedios entre los límites nominales superior e inferior, respectivamente, de clases adyacentes. El intervalo de clase (con límites reales), determina el rango de valores incluido dentro de una clase.
Medidas de centralización, posición o tendencia central.
Media aritmética. Dada una colección de datos, la media aritmética se define como el promedio de los datos, es decir la suma de los datos entre el número de datos.
Mediana. Se define como el dato central o el promedio de datos centrales en una colección ordenada en orden de magnitud.
Moda. Se define como el dato que más se repite. En una colección puede no haber moda, tener sólo una o bien varias modas.
TÉCNICAS DE CONTEO
INTRODUCCIÓN
En este capítulo se analizarán algunas técnicas para determinar el número de resultados posibles de un experimento o evento particular, o el número de elementos de un conjunto determinado, sin enumerarlo directamente. Un conteo como éste se denomina algunas veces análisis co0mbinatorio.
PRINCIPIOS BÁSICOS DE CONTEO
Hay dos principios básicos de conteo que se utilizarán a lo largo de este capítulo, uno comprende la adición y otro la multiplicación.
Principio de adición. Supongamos que un evento E puede ocurrir en m formas y un segundo evento F puede ocurrir en n formas, y supongamos que ambos eventos no pueden ocurrir en forma simultánea (disjuntos o mutuamente excluyentes). Entonces E o F pueden ocurrir en m + n formas.
Principio de multiplicación. Supongamos que un evento E puede ocurrir en m formas e independientemente de este evento, un evento F puede ocurrir en n formas. Entonces las combinaciones de los eventos E y F pueden ocurrir en mn formas.
Claramente estos principios pueden ampliarse a tres o más eventos.
PERMUTACIONES SIMPLES
Cualquier ordenamiento de un conjunto de n objetos en un orden dado se denomina una permutación de los objetos (tomados todos a la vez) (nPn). Cualquier ordenamiento de r ≤ n de estos objetos en un orden determinado se denomina una permutación de n objetos tomados de r a la vez (nPr).
Teorema: nPr = n!
(n – r)!
Siendo x! (se lee x factorial) un elemento que se define como el producto de todos los enteros positivos menores o iguales a x.
Nota: En particular se define 0! = 1! = 1
Corolario: nPn = n!
PERMUTACIONES CON REPETICIÓN.
Frecuentemente se desea conocer el número de permutaciones de un multiconjunto, es decir, un conjunto de objetos algunos de los cuales no son diferenciables.
Teorema: nPp,q, r… = n!
p! q! r! …
PERMUTACIONES CIRCULARES
Cuando los elementos que se ordenan se colocan en círculo, se dice que las permutaciones son circulares.
Teorema: nPcn = nPn = (n – 1)!
n
nPcr = nPr
r
COMBINACIONES
Supongamos que tenemos una colección de n objetos. Una combinación de estos n objetos, tomados r a la vez, es cualquier colección de r objetos en donde el orden no cuenta.
Teorema: nCr = n!
r! (n – r)!
DIAGRAMA DEL ÁRBOL
Un diagrama del árbol es un mecanismo utilizado para enumerar todos los resultados posibles de una secuencia de experimentos o eventos donde cada evento puede ocurrir en un número finito de formas.
DIAGRAMAS DE VENN
Las técnicas ya conocidas en la representación de conjuntos son también excelentes auxiliares para determinar el número de formas en que cierto evento puede ocurrir. Las operaciones con conjuntos como la unión, intersección, complemento, complemento relativo, etc., serán de gran importancia en este capítulo y en la determinación de probabilidades de eventos compuestos.
Hacer ejercicios del block de ejercicios 2.
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